위그너-에카르트 정리

3. 위그너-에카르트 정리 증명

구면 텐서 연산자의 정의에서 시작한다.

:$[J\_\backslash pm,\; T^\{(k)\}\_q]\; =\; \backslash hbar\; \backslash sqrt\{(k\; \backslash mp\; q)(k\; \backslash pm\; q\; +\; 1)\}T\_\{q\backslash pm\; 1\}^\{(k)\}$

이를 사용하여 다음을 계산한다.

:$$

\begin{align}

&\langle j \, m | [J_\pm, T^{(k)}_q] | j' \, m'

\rangle = \hbar \sqrt{(k \mp q) (k \pm q + 1)} \,

\langle j \, m | T^{(k)}_{q \pm 1} | j' \, m' \rangle.

\end{align}



좌변의 교환자를 $J\_\backslash pm$가 브라와 켓에 미치는 영향을 계산하여 확장하면 다음과 같다.

:$$

\begin{align}

\langle j \, m | [J_\pm, T^{(k)}_q] | j' \, m'

\rangle ={} &\hbar\sqrt{(j \pm m) (j \mp m + 1)} \, \langle j \, (m \mp 1) | T^{(k)}_q | j' \, m' \rangle \\

&-\hbar\sqrt{(j' \mp m')(j' \pm m' + 1)} \, \langle j \, m | T^{(k)}_q | j' \, (m' \pm 1) \rangle.

\end{align}



이 두 결과를 결합하면 다음을 얻는다.

:$$

\begin{align}

\sqrt{(j \pm m) (j \mp m + 1)} \langle j \, (m \mp 1) | T^{(k)}_q | j' \, m'

\rangle = &\sqrt{(j' \mp m') (j' \pm m' + 1)} \, \langle j \, m | T^{(k)}_q | j' \, (m' \pm 1) \rangle \\

&+\sqrt{(k \mp q) (k \pm q + 1)} \, \langle j \, m | T^{(k)}_{q \pm 1} | j' \, m' \rangle.

\end{align}



이 행렬 요소에 대한 재귀 관계는 클레브쉬-고르단 계수와 매우 유사하다. 실제로 둘 다 $\backslash Sigma\_c\; a\_\{b,\; c\}\; x\_c\; =\; 0$의 형식을 취한다. 따라서 다음과 같은 두 세트의 선형 동차 방정식을 갖는다.

:$$

\begin{align}

\sum_c a_{b, c} x_c &= 0, &

\sum_c a_{b, c} y_c &= 0.

\end{align}



하나는 클레브쉬-고르단 계수 ($x\_c$)에 대한 것이고, 다른 하나는 행렬 요소 ($y\_c$)에 대한 것이다. $x\_c$를 정확하게 풀 수는 없다. 우리는 비율이 같다고, 즉

:$\backslash frac\{x\_c\}\{x\_d\}\; =\; \backslash frac\{y\_c\}\{y\_d\}$

또는 $x\_c\; \backslash propto\; y\_c$라고만 할 수 있으며, 이때 비례 계수는 지수에 독립적이다. 따라서 재귀 관계를 비교하여 클레브쉬-고르단 계수 $\backslash langle\; j\_1\; m\_1\; j\_2\; (m\_2\; \backslash pm\; 1)\; |\; j\; m\; \backslash rangle$를 행렬 요소 $\backslash langle\; j\text{'}\; m\text{'}\; |\; T^\{(k)\}\_\{q\; \backslash pm\; 1\}\; |\; j\; m\; \backslash rangle$와 동일하게 식별할 수 있으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$

\langle j' \, m' | T^{(k)}_{q \pm 1} | j \, m\rangle

\propto \langle j \, m \, k \, (q \pm 1) | j' \, m' \rangle.

4. 낮은 차수에서의 위그너-에카르트 정리

흔히 다루는 텐서 연산자는 $k=0$인 스칼라 연산자나 $k=1$인 벡터 연산자다. 스칼라 연산자의 경우에 위그너-에카르트 정리는 단순히

:$\backslash langle\; j,m|T|j\text{'},m\text{'}\backslash rangle=T(j,j\text{'})\backslash delta\_\{jj\text{'}\}\backslash delta\_\{mm\text{'}\}$

이다. (여기서 $\backslash delta$는 물론 크로네커 델타다.) 벡터 연산자의 경우에 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.

:$\backslash langle\; j,m|T\_q|j\text{'},m\text{'}\backslash rangle=T(j,j\text{'})(\backslash langle\; j\text{'},m\text{'}\backslash otimes\backslash langle1,q|)|j,m\backslash rangle$

이다. 이 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다.

:$$

\begin{align}

\langle j_1, m; 1, 0 | j_1+1, m \rangle & = \sqrt{\frac{(j_1-m+1)(j_1+m+1)}{(2j_1+1)(j_1+1)}},\\

\langle j_1, m; 1, 0 | j_1, m \rangle & = \frac{m}{\sqrt{j_1(j_1+1)}},\\

\langle j_1, m; 1, 0 | j_1-1, m \rangle & = -\sqrt{\frac{(j_1-m)(j_1+m)}{j_1(2j_1+1)}}.

\end{align}



(나머지 계수는 모두 0이다.)

구면 1-텐서로서의 성분 $T\_q$는 벡터로서의 성분 $T\_i$ ($i=x,y,z$)로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

:$T\_\backslash pm=\backslash frac1\{\backslash sqrt2\}(\backslash mp\; T\_x+iT\_y)$

:$T\_0=T\_z$

5. 다른 표기법

축소 행렬 요소에 대한 다양한 표기법이 존재한다. 라카(Racah)^[5]와 위그너(Wigner)^[6]가 사용하는 표기법은 추가적인 위상과 정규화 인자를 포함한다.

:$$

\langle j \, m | T^{(k)}_q | j' \, m'\rangle

= \frac{(-1)^{2 k} \langle j' \, m' \, k \, q | j \, m \rangle \langle j \| T^{(k)} \| j'\rangle_{\mathrm{R}}}{\sqrt{2 j + 1}}

= (-1)^{j - m}

\begin{pmatrix}

j & k & j' \\

• m & q & m'

• m & q & m'

6. 예제: 위치 연산자 행렬 요소 (4d → 2p 전이)

위치 연산자의 ''x'', ''y'', ''z'' 성분 중 하나인 ''r''_''i''와 자기 양자수 ''m''₁, ''m''₂를 이용하여, 수소 원자의 4d에서 2p 궤도 함수로의 전자 전이에 대한 전이 쌍극자 모멘트는 $\backslash langle\; 2p,m\_1\; |\; r\_i\; |\; 4d,m\_2\; \backslash rangle$ 형태의 행렬 요소로 나타낼 수 있다. 여기서 ''m''₁은 2p 부껍질 내의 서로 다른 궤도 함수를, ''m''₂는 4d 부껍질 내의 서로 다른 궤도 함수를 구별한다. 이 경우, ''m''₁은 (−1, 0, 1)의 3가지, ''m''₂는 (−2, −1, 0, 1, 2)의 5가지, ''i''는 3가지 가능성이 있으므로, 직접 계산하려면 총 45개(3 × 5 × 3)의 서로 다른 적분을 계산해야 한다.

위그너-에카르트 정리를 이용하면, 45개의 적분 중 0이 아닌 단 하나의 적분만 평가하면 충분하다. 나머지 44개의 적분은 클렙쉬-고르단 계수를 사용하여 첫 번째 적분으로부터 추론할 수 있다. 클렙쉬-고르단 계수는 표에서 쉽게 찾거나, 손 또는 컴퓨터로 계산할 수 있다.^[4]

이러한 계산이 가능한 이유는 45개의 계산이 회전에 의해 서로 관련되어 있기 때문이다. 전자가 2p나 4d 오비탈 중 하나에 있을 때, 시스템을 회전시키면 다른 2p나 4d 오비탈로 이동한다. 위치 연산자도 마찬가지로, 시스템이 회전하면 세 가지 성분이 서로 교환되거나 혼합된다.

표현론을 이용하면 더 정확하게 설명할 수 있다. 4d 오비탈 집합은 5차원 기약 표현(스핀-2), 2p 오비탈은 3차원 기약 표현(스핀-1), 위치 연산자 성분 또한 3차원 기약 표현(스핀-1)을 형성한다. 행렬 요소는 이 세 표현의 텐서 곱에 따라 변환되며, 이 텐서 곱은 기약 표현들의 직접 합으로 분해된다. 0이 아닌 행렬 요소는 스핀-0 부분 공간에서만 나올 수 있으며, 직접 곱 분해에 하나의 스핀-0 부분 공간만 포함되므로 모든 행렬 요소가 단일 스케일 팩터에 의해 결정된다.^[4]

위치 기댓값 $\backslash langle\; n\; \backslash ,\; j\; \backslash ,\; m\; |\; x\; |\; n\text{'}\; \backslash ,\; j\text{'}\; \backslash ,\; m\text{'}\; \backslash rangle$를 위그너-에카르트 정리를 이용하여 계산하는 구체적인 예시는 다음과 같다. $x$는 랭크-1 구면 텐서 $T^\{(1)\}\_\{q\}$의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

:$x\; =\; \backslash frac\{T^\{(1)\}\_\{-1\}\; -\; T^\{(1)\}\_1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$

여기서 구면 텐서는 다음과 같이 정의된다.^[7]

:$T^\{(1)\}\_\{q\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{4\; \backslash pi\}\{3\}\}\; r\; Y\_1^q$

$Y\_1^q$은 구면 조화 함수이며, 랭크 $l$의 구면 텐서이다. 또한, $T^\{(1)\}\_\{0\}\; =\; z$이고,

:$T^\{(1)\}\_\{\backslash pm\; 1\}\; =\; \backslash mp\; \backslash frac\{x\; \backslash pm\; i\; y\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$

따라서,

:$$

\begin{align}

\langle n \, j \, m | x | n' \, j' \, m'

\rangle

& = \left\langle n \, j \, m \left| \frac{T^{(1)}_{-1} - T^{(1)}_1}{\sqrt{2}} \right| n' \, j' \, m'

\right\rangle \\

& = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle n \, j \| T^{(1)} \| n' \, j'\rangle \,

\big(\langle j' \, m' \, 1 \, (-1) | j \, m \rangle - \langle j' \, m' \, 1 \, 1 | j \, m \rangle\big).

\end{align}



위 식은 $|\; n\; j\; m\; \backslash rangle$ 기저에서 $x$에 대한 행렬 요소를 제공한다. 기댓값을 구하기 위해, $n\text{'}\; =\; n$, $j\text{'}\; =\; j$, $m\text{'}\; =\; m$으로 설정한다. $m\text{'}$과 $m$에 대한 선택 규칙은 $T^\{(1)\}\_\{\backslash pm\; 1\}$ 구면 텐서에 대해 $m\; \backslash pm\; 1\; =\; m\text{'}$이다. $m\text{'}\; =\; m$이므로 클레브쉬-고르단 계수가 0이 되어 기댓값이 0이 된다.

참조

_[1] 간행물 Eckart Biography http://orsted.nap.ed[...] The National Academies Press
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 문서 2015
_[5] 논문 Theory of Complex Spectra II
_[6] 서적 The Collected Works of Eugene Paul Wigner 1951
_[7] 서적 Modern quantum mechanics Addison-Wesley 1994
_[8] 서적 Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten-mechanik der Atomspektren
_[9] 저널 The Application of Group theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems